Чем заклеить шифер?

"По мокрому" починить не получится, дождитесь сухого дня. Если невмоготу, то поможет строительный фен (без фанатизма, не перегрейте!)Дальше заполняете щель смесью мелко дроблёного шифера (хоть какой-то кусок остался?) и клея ПВА. Снова сушите, и закрашиваете шов любой водостойкой краской. Проще простого!

Если лопнула верхняя синусоида волны тогда можно заклеить наложив латку с клеем суперцемент, суперклеем или силикатным, а также строительным скотчем предварительно высушив место трещины. Если лопнула нижняя то со стороны крыши заклеить строительным скотчем а сверху залить трещину составом жидкое стекло+ цемент + песок.

Заклеить можно - и будет держать, проверено. Только не суперцементами (это все бред и реально не работает) и прочей ерундой.
Для начала из такого же шифера вырезаете фрагмент, который перекрывает трещины как минимум на волну. Вверх и вниз запас 30-50см достаточен. Обезжириваете как вырезанную часть, так и участок предполагаемой вклейки.
Берете каучуковый герметик для клейки автостекол (к нему и растворитель для обезжиривания дадут соответствующий) и наносите слоем в палец по всему периметру заготовленной детали. Прижимаем несильно и все. Можно еще контрольно по периметру латки замазать шпателем (тем же герметиком) шов.

Важно было бы знать размеры трещины. Можно попробовать использовать смесь цемента с морозостойким приточным клеем. Только это все надо поместить в женскую колготку или ее часть (вырезать ленточку), материал колготки будет выполнять, роль армирующей сетки. Но самое главное суметь пропихнуть колготку со смесью в щель. Так, чтобы она была с обеих сторон листа шифера.

По моему уважаемый ваш вариант устранения трещины на шифере больше подходит для верхнего ряда шифера, но как быть если шифер лопнул в средних рядах. Ведь надо подсовывать волну под верхний шифер а значит надо ослабить крепление близлежащих шиферин к тому же в них образуется щель на толщину шифера+герметик. На мой взгляд это не очень удачный вариант но работающий.

Ничего и никуда подсовывать не нужно, уважаемый. "Латка" накладывается поверх существующего, даже если и немного переходит на верхний ряд - это не страшно. В таком случае слой герметика просто будет немного толще, вот и все. И никакая щель нигде не образовывается. Другое дело, что эту "заплату" будет видно если она выполнена немного из другого шиферного листа. Ну это еще и от размеров зависит.

Растопите в старой кастрюле гудрон и залейте трещину. У нас так чинят, если небольшие трещины в шифере. И дешево и быстро и не надо ничего разбирать-подкладывать.

Продольную трещину залейте герметиком.Только чтобы был для наружного применения.Сложнее, если вывалился кусок и образовалась дыра.Я убирал буржуйку и ставил печь в дачном доме. Дыры в крыше не совпали. Обрешетка редкая, подставил изнутри кусок, закрывающий дыру, скрепил саморезами. Потом снаружи замазал раствором 1:1. Вот уже лет 5-6 держится.

А если взять целый лист шифера, и вырезать (аккуратно) из него полволны и подложить этот кусок с внутренней стороны (с стороны чердака) так, как лежит весь лист? По идеи вода уже проходить не будет. А саму щель можно заделать раствором.

А как под обрешетку эту полосу засунуть? Это дырку куском изнутри можно заделать. И то, если расстояние между досками обрешетки крыши позволяет. Так, что лучше всего силиконовый герметик. Он не разрушится, если скрепленные части будут немного подвижны, нанести его просто, служит долго, стоит недорого.